Una introducción a
la matemática
CONCEPTO
DE MATEMÁTICA
La Matemática (o las matemáticas) es una ciencia, hallada dentro de
las ciencias exactas, que se basa en principios de
la lógica, y es de utilidad para una gran
diversidad de campos del conocimiento, como la Economía, la Psicología, la Biología y la
Física. Además, la Matemática es una ciencia objetiva, pues los temas tratados por ella, no son abiertos a
discusión, o modificables por simples opiniones; sólo se cambian si se descubre
que en ellos hay errores matemáticos comprobables.
RAMAS DE
LA MATEMÁTICAS
En esta pagina mencionare
las ramas de las matemáticas las cuales son:
1. Aritmética
Que es la rama que
estudia los números y las situaciones modeladas por ellos. Su nombre
proveniente del arithmos, significa habilidad con los números.
2. Álgebra
Que es la rama que
estudia las cantidades generales, es decir, es una ampliación considerable a
los estudios realizados por la artmética, basado en ella. Es considerada una de
las ramas escenciales y más importantes de la matemática, considero que es por
el nivel de abstracción que permite enfrentarse a otras ramas de la matemática
con mucha más facilidad.
3. Geometría plana y del
espacio
Que es la rama que
estudia las figuras y sus propiedades, basado en las mediciones, y
caracterizaciones de su partes a través de la construcción. También procede en
un orden estricto a base de demostraciones de todas las propiedades. Y tiene
una estructura piramidal.
4. Geometría analítica
Que es la rama que
estudia las curvas y sus propiedades a través de su caracterización algebraica
correspondiente en un plano o espacio cartesiano (u otros).
5. Lógica
Que es la rama que
estudia los valores de verdad de situaciones y sus equivalencias. En general
estudia las formas validas de inferencia. Es la que entrega la base para el
pensamiento matemático.
6. Probabilidad
Que es la rama que
estudia "el orden del azar", busca de cierta manera expresar de forma
numérica las posibilidades de ocurrencia de un evento en que está envuelto el
azar. También estudia sus propiedades y complementa con teoría de conjuntos.
7. Estadistica
Muchos consideran la
probabilidad y estadistica como una sola rama, pero la estadística es una rama
por si misma y estudia la recolección, análisis e interpretación de datos.
8. Cálculo
Que es quien estudia las
funciones y las consecuencias de los cambios en ellas.
9. Conjuntos
Hay quienes no lo
consideran una rama, es más hay quienes se atreven a decir que son
innesesarios, pero conjuntos no solo es una base pequeña para la artmética sino
que concluye en situaciones tan complejas como las estructuras algebraicas.
10. Matemática aplicada
Y por último las
matemáticas aplicadas como un resumen de las demás ramas, pero que hace
referencia a todos los métodos y herramientas matemáticas que pueden ser
utilizados en el análisis o solución de problemas pertenecientes al área de las
ciencias aplicadas o sociales
HISTORIA DE
LAS MATEMÁTICAS
En el pasado la matemática era considerada
como la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes (como en la
geometría), a los números (como en la aritmética), o a la generalización de
ambos (como en el álgebra).
Hacia mediados del siglo XIX la matemática
se empezó a considerar como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que
produce condiciones necesarias. Esta última noción abarca la lógica matemática
o simbólica —ciencia que consiste en utilizar símbolos para generar una teoría
exacta de deducción e inferencia lógica basada en definiciones, axiomas,
postulados y reglas que transforman elementos primitivos en relaciones y
teoremas más complejos.
En realidad, las matemáticas son tan
antiguas como la propia humanidad: en los diseños prehistóricos de cerámica,
tejidos y en las pinturas rupestres se pueden encontrar evidencias del sentido
geométrico y del interés en figuras geométricas. Los sistemas de cálculo
primitivos estaban basados, seguramente, en el uso de los dedos de una o dos
manos, lo que resulta evidente por la gran abundancia de sistemas numéricos en
los que las bases son los números 5 y 10.
Las matemáticas
más antiguas
Las primeras referencias a matemáticas
avanzadas y organizadas datan del tercer milenio a.C., en Babilonia y Egipto.
Estas matemáticas estaban dominadas por la aritmética, con cierto interés en
medidas y cálculos geométricos y sin mención de conceptos matemáticos como los
axiomas o las demostraciones.
Los primeros libros egipcios, escritos
hacia el año 1800 a.C., muestran un sistema de numeración decimal con distintos
símbolos para las sucesivas potencias de 10 (1, 10, 100…), similar al sistema
utilizado por los romanos. Los números se representaban escribiendo el símbolo
del 1 tantas veces como unidades tenía el número dado, el símbolo del 10 tantas
veces como decenas había en el número, y así sucesivamente. Para sumar números,
se sumaban por separado las unidades, las decenas, las centenas… de cada
número. La multiplicación estaba basada en duplicaciones sucesivas y la
división era el proceso inverso.
Los egipcios fueron capaces de resolver
problemas aritméticos con fracciones, así como problemas algebraicos
elementales. En geometría encontraron las reglas correctas para calcular el área
de triángulos, rectángulos y trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros,
cilindros y, por supuesto, pirámides. Para calcular el área de un círculo, los
egipcios utilizaban un cuadrado y llegaban a un valor muy cercano al que se
obtiene utilizando la constante pi (3,14).
El sistema babilónico de numeración era
bastante diferente del egipcio. En el babilónico se utilizaban tablillas con
varias muescas o marcas en forma de cuña (cuneiforme); una cuña sencilla
representaba al 1 y una marca en forma de flecha representaba al 10.
China y las
matemáticas
Aunque la civilización china es
cronológicamente comparable a las civilizaciones egipcia y mesopotámica, los
registros existentes son bastante menos fiables.
La primera obra matemática es
"probablemente" el Chou Pei (horas solares) ¿1200 a.C.? y junto a
ella la más importante es "La matemática de los nueve libros" o de
los nueve capítulos. Esta obra, de carácter totalmente heterogéneo, tiene la
forma de pergaminos independientes y están dedicados a diferentes temas de
carácter eminentemente práctico formulados en 246 problemas concretos, a
semejanza de los egipcios y babilónicos y a diferencia de los griegos cuyos
tratados eran expositivos, sistemáticos y ordenados de manera lógica.
Los problemas resumen un compendio de
cuestiones sobre agricultura, ingeniería, impuestos, cálculo, resolución de
ecuaciones y propiedades de triángulos rectángulos.
El sistema de numeración es el decimal
jeroglífico. Las reglas de las operaciones son las habituales, aunque destaca
como singularidad, que en la división de fracciones se exige la previa
reducción de éstas a común denominador.
Dieron por sentada la existencia de
números negativos, aunque nunca los aceptaron como solución a una ecuación.
La contribución algebraica más importante
es, sin duda, el perfeccionamiento alcanzado en la regla de resolución de
sistemas de ecuaciones lineales. Para todos los sistemas se establece un método
genérico de resolución muy similar al que hoy conocemos como método
de Gauss, expresando incluso los coeficientes en forma matricial,
transformándolos en ceros de manera escalonada.
Inventaron el "tablero de
cálculo", artilugio consistente en una colección de palillos de bambú de
dos colores (un color para expresar los números positivos y otro para los
negativos) y que podría ser considerado como una especie de ábaco primitivo.
Esta orientación algorítmica de las
matemáticas en la China Antigua, se mantiene hasta mediados del siglo XIV
debido fundamentalmente a las condiciones socio-económicas de esta sociedad.
Con el desarrollo del "método del
elemento celeste" se culminó el desarrollo del álgebra en China en la edad
media. Este método, desarrollado por Chou Shi Hié, permitía encontrar raíces no
sólo enteras, sino también racionales, e incluso aproximaciones decimales para
ecuaciones de la forma Pn(x)=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+ao .
El método del elemento celeste es
equivalente al que en Occidente denominamos "método de Horner",
matemático que vivió medio siglo más tarde.
Otro gran logro de la época medieval fue
la suma de progresiones desarrollado por Chon Huo (s. XI) y Yang Hui (s.XIII).
Unido a estas sumas de progresiones se establecieron elementos sólidos en la
rama de la combinatoria, construyendo el llamado "espejo precioso" de
manera similar al que hoy conocemos como triángulo de Tartaglia o Pascal.
No se puede decir que la geometría fuese
el punto fuerte de la cultura china, limitándose principalmente a la resolución
de problemas sobre distancias y semejanzas de cuerpos.
Aproximadamente a mediados del siglo XIV
comenzó en China un largo periodo de estancamiento.
Las matemáticas
en Grecia
Los griegos tomaron elementos de las
matemáticas de los babilonios y de los egipcios. La innovación más importante
fue la invención de las matemáticas abstractas basadas en una estructura lógica
de definiciones, axiomas y demostraciones.
Según los cronistas griegos, este avance
comenzó en el siglo VI a.C. con Tales de
Mileto y Pitágoras de Samos. Este último enseñó la importancia
del estudio de los números para poder entender el mundo. Algunos de sus
discípulos hicieron importantes descubrimientos sobre la teoría de números y la
geometría, que se atribuyen al propio Pitágoras.
En el siglo V a.C., algunos de los más
importantes geómetras fueron el filósofo atomista Demócrito de Abdera, que encontró la fórmula correcta
para calcular el volumen de una pirámide, e Hipócrates de Cos, que descubrió
que el área de figuras geométricas en forma de media luna limitadas por arcos
circulares son iguales a las de ciertos triángulos. Este descubrimiento está
relacionado con el famoso problema de la cuadratura del círculo (construir un
cuadrado de área igual a un círculo dado).
Otros dos problemas bastante conocidos que
tuvieron su origen en el mismo periodo son la trisección de un ángulo y la
duplicación del cubo (construir un cubo cuyo volumen es dos veces el de un cubo
dado). Todos estos problemas fueron resueltos, mediante diversos métodos,
utilizando instrumentos más complicados que la regla y el compás. Sin embargo,
hubo que esperar hasta el siglo XIX para demostrar finalmente que estos tres
problemas no se pueden resolver utilizando solamente estos dos instrumentos
básicos.
A finales del siglo V a.C., un matemático
griego descubrió que no existe una unidad de longitud capaz de medir el lado y
la diagonal de un cuadrado, es decir, una de las dos cantidades es inconmensurable. Esto
significa que no existen dos números naturales m y n cuyo
cociente sea igual a la proporción entre el lado y la diagonal.
Debido a que los griegos sólo utilizaban
los números naturales (1, 2, 3…), no pudieron expresar numéricamente este
cociente entre la diagonal y el lado de un cuadrado (este número es lo que hoy
se denomina número irracional). En razón de este descubrimiento se
abandonó la teoría pitagórica de la proporción, basada en números, y se tuvo
que crear una nueva teoría no numérica. Ésta fue introducida en el siglo IV
a.C. por el matemático Eudoxo de Cnido, y la solución se puede encontrar en
los Elementos de Euclides. Eudoxo, además, descubrió un método para demostrar
rigurosamente supuestos sobre áreas y volúmenes mediante aproximaciones
sucesivas.
Euclides, matemático y profesor que
trabajaba en el famoso Museo de Alejandría, también escribió tratados sobre
óptica, astronomía y música. Los trece libros que componen sus Elementos contienen
la mayor parte del conocimiento matemático existente a finales del siglo IV
a.C., en áreas tan diversas como la geometría de polígonos y del círculo, la
teoría de números, la teoría de los inconmensurables, la geometría del espacio
y la teoría elemental de áreas y volúmenes.
El siglo posterior a Euclides estuvo marcado
por un gran auge de las matemáticas, como se puede comprobar en los trabajos de
Arquímedes de Siracusa y de un joven contemporáneo, Apolonio de Perga.
Arquímedes utilizó un nuevo método
teórico, basado en la ponderación de secciones infinitamente pequeñas de
figuras geométricas, para calcular las áreas y volúmenes de figuras obtenidas a
partir de las cónicas. Éstas habían sido descubiertas por un alumno de Eudoxo
llamado Menaechmo, y aparecían como tema de estudio en un tratado de Euclides;
sin embargo, la primera referencia escrita conocida aparece en los trabajos de
Arquímedes. También investigó los centros de gravedad y el equilibrio de
ciertos cuerpos sólidos flotando en agua.
Casi todo su trabajo es parte de la
tradición que llevó, en el siglo XVII, al desarrollo del cálculo. Su
contemporáneo, Apolonio, escribió un tratado en ocho tomos sobre las cónicas, y
estableció sus nombres: elipse, parábola e hipérbola. Este tratado sirvió de
base para el estudio de la geometría de estas curvas hasta los tiempos del
filósofo y científico francés René Descartes en
el siglo XVII.
Después de Euclides, Arquímedes y
Apolonio, Grecia no tuvo ningún geómetra de la misma talla. Los escritos de
Herón de Alejandría en el siglo I d.C. muestran cómo elementos de la tradición
aritmética y de medidas de los babilonios y egipcios convivieron con las
construcciones lógicas de los grandes geómetras.
Los libros de Diofante de Alejandría en el
siglo III d.C. continuaron con esta misma tradición, aunque ocupándose de
problemas más complejos. En ellos Diofante encuentra las soluciones enteras
para aquellos problemas que generan ecuaciones con varias incógnitas.
Actualmente, estas ecuaciones se denominan diofánticas y se estudian en el
análisis diofántico.
Las matemáticas
aplicadas en Grecia
En paralelo con los estudios sobre
matemáticas puras hasta ahora mencionados, se llevaron a cabo estudios de
óptica, mecánica y astronomía. Muchos de los grandes matemáticos, como Euclides
y Arquímedes, también escribieron sobre temas astronómicos.
A principios del siglo II a.C., los
astrónomos griegos adoptaron el sistema babilónico de almacenamiento de
fracciones y, casi al mismo tiempo, compilaron tablas de las cuerdas de un
círculo. Para un círculo de radio determinado, estas tablas daban la longitud
de las cuerdas en función del ángulo central correspondiente, que crecía con un
determinado incremento. Eran similares a las modernas tablas del seno y coseno,
y marcaron el comienzo de la trigonometría. En la primera versión de estas
tablas —las de Hiparco, hacia el 150 a.C.— los arcos crecían con un incremento
de 71°, de 0° a 180°.
En tiempos del astrónomo Tolomeo, en el
siglo II d.C., la maestría griega en el manejo de los números había avanzado
hasta tal punto que Tolomeo fue capaz de incluir en su Almagesto una
tabla de las cuerdas de un círculo con incrementos de 1° que, aunque expresadas
en forma sexagesimal, eran correctas hasta la quinta cifra decimal.
Mientras tanto, se desarrollaron otros
métodos para resolver problemas con triángulos planos y se introdujo un teorema
—que recibe el nombre del astrónomo Menelao de Alejandría— para calcular las
longitudes de arcos de esfera en función de otros arcos. Estos avances dieron a
los astrónomos las herramientas necesarias para resolver problemas de
astronomía esférica, y para desarrollar el sistema astronómico que sería
utilizado hasta la época del astrónomo alemán Johannes Kepler.
Las matemáticas
en la edad media
En Grecia, después de Tolomeo, se
estableció la tradición de estudiar las obras de estos matemáticos de siglos
anteriores en los centros de enseñanza. El que dichos trabajos se hayan
conservado hasta nuestros días se debe principalmente a esta tradición. Sin
embargo, los primeros avances matemáticos consecuencia del estudio de estas
obras aparecieron en el mundo árabe.
La India y las
matemáticas
Son muy escasos los documentos de tipo
matemático que han llegado a nuestras manos, pese a tener constancia del alto
nivel cultural de esta civilización. Aun más que en el caso de China, existe
una tremenda falta de continuidad en la tradición matemática hindú y al igual
que ocurría con las tres civilizaciones anteriores, no existe ningún tipo de
formalismo teórico.
Los primeros indicios matemáticos se
calculan hacia los siglos VIII-VII a.C, centrándose en aplicaciones geométricas
para la construcción de edificios religiosos y también parece evidente que
desde tiempos remotos utilizaron un sistema de numeración posicional y decimal.
Fue, sin embargo, entre los siglos V-XII
d.C cuando la contribución a la evolución de las matemáticas se hizo
especialmente interesante, destacando cuatro nombres propios: Aryabhata (s.VI),
Brahmagupta (s.VI), Mahavira (s. IX) y Bhaskara Akaria (s.XII).
La característica principal del
desarrollo matemático en esta cultura, es el predominio de las reglas
aritméticas de cálculo, destacando la correcta utilización de los números
negativos y la introducción del cero, llegando incluso a aceptar como números
validos las números irracionales.
Profundizaron en la obtención de reglas de
resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas, en las cuales las raíces
negativas eran interpretadas como deudas. Desarrollaron también, sin duda para
resolver problemas astronómicos, métodos de resolución de ecuaciones
diofánticas, llegando incluso a plantear y resolver (s.XII) la ecuación x2=1+ay2,
denominada ecuación de Pelt.
Como resumen acabaremos diciendo que en la
historia de la India se encuentran suficientes hechos que ponen en evidencia la
existencia de relaciones políticas y económicas con los estados griegos,
egipcios, árabes y con China. Matemáticamente se considera indiscutible la
procedencia hindú del sistema de numeración decimal y las reglas de cálculo.
Los árabes y las
matemáticas
Los números que llamamos árabes no son
árabes sino hindúes; pero la mayoría de la gente cree, erróneamente, que los
números que utiliza son árabes.
Tampoco las cifras que utilizamos son
originales de los árabes: si se observa la grafía hindú del siglo VI se puede
comprobar que es muy similar a la nuestra.
Después de un siglo de expansión en la que
la religión musulmana se difundió desde sus orígenes en la península Arábiga
hasta dominar un territorio que se extendía desde la península Ibérica hasta
los límites de la actual China, los árabes empezaron a incorporar a su propia
ciencia los resultados de "ciencias extranjeras".
Los traductores de instituciones como la
Casa de la Sabiduría de Bagdad, mantenida por los califas gobernantes y por
donaciones de particulares, escribieron versiones árabes de los trabajos de
matemáticos griegos e indios.
Hacia el año 900, el periodo de
incorporación se había completado y los estudiosos musulmanes comenzaron a
construir sobre los conocimientos adquiridos.
El sistema hindú era, al contrario del
griego o romano, de carácter "posicional". Lo que significa que las
cifras tiene diferente valor según el lugar que ocupan. Entre otros avances,
los matemáticos árabes ampliaron el sistema indio de posiciones decimales en
aritmética de números enteros, extendiéndolo a las fracciones decimales.
Para los romanos V era siempre cinco
estuviera colocado en una posición o en otra (V I I= 5+1+1=7; VI = 5+1=6),
mientras que para nosotros, y mucho antes para los hindúes, en el número 511 el
cinco vale quinientos mientras que en el 51 vale cincuenta. Esta idea que hoy
nos puede parecer tan elemental los grandes matemáticos griegos no la tuvieron
y sin embargo se tiene constancia de que en el siglo VI los hindúes no sólo la
utilizaban en su sistema de numeración sino que además manejaban con soltura
las cuatro reglas y el cero.
El gran mérito atribuible, pues, a
los árabes es el de haberse dado cuenta de las ventajas que el sistema hindú
tenía sobre todos los demás.
Cuando se habla de matemática árabe no se
suele tener en cuenta, además, que muchos de los científicos de los que se
habla eran persas, judíos e incluso cristianos.
En el siglo XII, el matemático persa Omar
Khayyam generalizó los métodos indios de extracción de raíces cuadradas y
cúbicas para calcular raíces cuartas, quintas y de grado superior.
El más conocido de los matemáticos árabes
es Mohammed Ibn Musa Al-Khwarizmi (780-850),
conodido como padre del álgebra.
Se sabe poco de su vida salvo que vivió en
la primera mitad del siglo IX y que trabajó en la biblioteca del califa de
Bagdad.
Escribió libros sobre geografía,
astronomía y matemática. En su obra Aritmética ("Algoritmi de numero indorum") explica
con detalle el funcionamiento del sistema decimal y del cero que usaban en la
India. Obra de gran importancia pues contribuyó a la difusión del sistema de
numeración indio y al conocimiento del cero.
Debe destacarse la obra de contenido
algebráico "Hisab al-yabr wa'l
muqqabala", considerada uno de los primeros libros de álgebra. Obra
eminentemente didáctica con abundantes problemas para resolver y adiestrar al
lector, principalmente, en la resolución de ecuaciones de segundo grado.
Es el autor de uno de los métodos más antiguos que se conocen para
resolver ecuaciones de segundo grado. Dicho método, geométrico, se conoce como
de completar cuadrado.
Los geómetras, como Ibrahim ibn Sinan,
continuaron las investigaciones de Arquímedes sobre áreas y volúmenes. Kamal
al-Din y otros aplicaron la teoría de las cónicas a la resolución de problemas
de óptica. Los matemáticos Habas al-Hasib y Nasir ad-Din at-Tusi crearon
trigonometrías plana y esférica utilizando la función seno de los indios y el
teorema de Menelao. Estas trigonometrías no se convirtieron en disciplinas
matemáticas en Occidente hasta la publicación del De triangulis
omnimodis (1533) del astrónomo alemán Regiomontano.
Finalmente, algunos matemáticos árabes
lograron importantes avances en la teoría de números, mientras otros crearon
una gran variedad de métodos numéricos para la resolución de ecuaciones.
Los países europeos con lenguas latinas
adquirieron la mayor parte de estos conocimientos durante el siglo XII, el gran
siglo de las traducciones.
Los trabajos de los árabes, junto con las
traducciones de los griegos clásicos fueron los principales responsables del
crecimiento de las matemáticas durante la edad media. Los matemáticos
italianos, como Leonardo Fibonacci y Luca Pacioli (uno de los grandes
tratadistas del siglo XV en álgebra y aritmética, que desarrollaba para aplicar
en el comercio), se basaron principalmente en fuentes árabes para sus estudios.
Las matemáticas
durante el renacimiento.
Aunque el final del periodo medieval fue
testigo de importantes estudios matemáticos sobre problemas del infinito por
autores como Nicole Oresme, no fue hasta principios del siglo XVI cuando se
hizo un descubrimiento matemático de trascendencia en Occidente. Era una
fórmula algebraica para la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto
grado, y fue publicado en 1545 por el matemático italiano Gerolamo Cardano en
su Ars magna.
Este hallazgo llevó a los matemáticos a
interesarse por los números complejos y estimuló la búsqueda de soluciones
similares para ecuaciones de quinto grado y superior. Fue esta búsqueda la que
a su vez generó los primeros trabajos sobre la teoría de grupos a finales del
siglo XVIII y la teoría de ecuaciones del matemático francés Évariste Galois a
principios del XIX.
También durante el siglo XVI se empezaron
a utilizar los modernos signos matemáticos y algebraicos. El matemático francés
François Viète llevó a cabo importantes estudios sobre la resolución de
ecuaciones. Sus escritos ejercieron gran influencia en muchos matemáticos del
siglo posterior, incluyendo a Pierre de Fermat en Francia e Isaac Newton en
Inglaterra.
Avances en el
siglo XVII
Los europeos dominaron el desarrollo de
las matemáticas después del renacimiento.
Durante el siglo XVII tuvieron lugar los
más importantes avances en las matemáticas desde la era de Arquímedes y
Apolonio. El siglo comenzó con el descubrimiento de los logaritmos por
el matemático escocés John Napier (Neper); su gran utilidad llevó al astrónomo
francés Pierre Simon Laplace a decir, dos siglos más tarde, que Neper, al
reducir el trabajo de los astrónomos a la mitad, les había duplicado la vida.
La ciencia de la teoría de números, que
había permanecido aletargada desde la época medieval, es un buen ejemplo de los
avances conseguidos en el siglo XVII basándose en los estudios de la antigüedad
clásica. La obra Las aritméticas de Diofante ayudó a Fermat a
realizar importantes descubrimientos en la teoría de números. Su conjetura más
destacada en este campo fue que no existen soluciones de la ecuación an+bn=cn con a,
b y c enteros positivos si n es
mayor que 2. Esta conjetura, conocida como último teorema de Fermat, ha
generado gran cantidad de trabajos en el álgebra y la teoría de números.
En geometría pura, dos importantes
acontecimientos ocurrieron en este siglo. El primero fue la publicación, en
el Discurso del método(1637) de Descartes, de su descubrimiento de
la geometría analítica, que mostraba cómo utilizar el álgebra
(desarrollada desde el renacimiento) para investigar la geometría de las curvas
(Fermat había hecho el mismo descubrimiento pero no lo publicó).
El Discurso del método, junto
con una serie de pequeños tratados con los que fue publicado, ayudó y
fundamentó los trabajos matemáticos de Isaac Newton hacia 1660. El segundo
acontecimiento que afectó a la geometría fue la publicación, por el ingeniero
francés Gérard Desargues, de su descubrimiento de la geometría proyectiva en
1639.
Aunque este trabajo fue alabado por
Descartes y por el científico y filósofo francés Blaise Pascal, su
terminología excéntrica y el gran entusiasmo que había causado la aparición de
la geometría analítica retrasó el desarrollo de sus ideas hasta principios del
siglo XIX, con los trabajos del matemático francés Jean Victor Poncelet.
Otro avance importante en las matemáticas
del siglo XVII fue la aparición de la teoría de la probabilidad a partir de la
correspondencia entre Pascal y Fermat sobre un problema presente en los juegos
de azar, el llamado problema de puntos. Este trabajo no fue publicado, pero
llevó al científico holandés Christiaan Huygens a escribir un pequeño folleto
sobre probabilidad en juegos con dados, que fue publicado en el Ars
coniectandi (1713) del matemático suizo Jacques Bernoulli.
Tanto Bernoulli como el francés Abraham De
Moivre, en su Doctrina del azar de 1718, utilizaron el recién
descubierto cálculo para avanzar rápidamente en su teoría, que para entonces
tenía grandes aplicaciones en pujantes compañías de seguros.
Sin embargo, el acontecimiento matemático
más importante del siglo XVII fue, sin lugar a dudas, el descubrimiento por parte
de Newton de los cálculos diferencial e integral, entre 1664 y 1666. Newton se
basó en los trabajos anteriores de dos compatriotas, John Wallis e Isaac
Barrow, así como en los estudios de otros matemáticos europeos como Descartes,
Francesco Bonaventura Cavalieri, Johann van Waveren Hudde y Gilles Personne de
Roberval.
Unos ocho años más tarde, el alemán
Gottfried Wilhelm Leibniz descubrió también el cálculo y fue el primero en
publicarlo, en 1684 y 1686. El sistema de notación de Leibniz es el que se usa
hoy en el cálculo.
Situación en el
siglo XVIII
Durante el resto del siglo XVII y buena
parte del XVIII, los discípulos de Newton y Leibniz se basaron en sus trabajos
para resolver diversos problemas de física, astronomía e ingeniería, lo que les
permitió, al mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de las matemáticas. Así,
los hermanos Jean y Jacques Bernoulli inventaron el cálculo de variaciones y el
matemático francés Gaspard Monge la geometría descriptiva.
Joseph Louis Lagrange, también francés,
dio un tratamiento completamente analítico de la mecánica en su gran obra Mecánica
analítica(1788), en donde se pueden encontrar las famosas ecuaciones de
Lagrange para sistemas dinámicos. Además, Lagrange hizo contribuciones al
estudio de las ecuaciones diferenciales y la teoría de números, y desarrolló la
teoría de grupos. Su contemporáneo Laplace escribió Teoría analítica de
las probabilidades (1812) y el clásico Mecánica celeste (1799-1825),
que le valió el sobrenombre de ‘el Newton francés’.
El gran matemático del siglo XVIII fue el
suizo Leonard Euler, quien aportó ideas fundamentales sobre el
cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus aplicaciones. Euler escribió
textos sobre cálculo, mecánica y álgebra que se convirtieron en modelos a
seguir para otros autores interesados en estas disciplinas. Sin embargo, el
éxito de Euler y de otros matemáticos para resolver problemas tanto matemáticos
como físicos utilizando el cálculo sólo sirvió para acentuar la falta de un
desarrollo adecuado y justificado de las ideas básicas del cálculo.
La teoría de Newton estaba basada en la
cinemática y las velocidades, la de Leibniz en los infinitésimos, y el
tratamiento de Lagrange era completamente algebraico y basado en el concepto de
las series infinitas. Todos estos sistemas eran inadecuados en comparación con
el modelo lógico de la geometría griega, y este problema no fue resuelto hasta
el siglo posterior.
Las matemáticas
en el siglo XIX
En 1821, un matemático francés, Augustin
Louis Cauchy, consiguió un enfoque lógico y apropiado del cálculo. Cauchy basó
su visión del cálculo sólo en cantidades finitas y el concepto de límite. Sin
embargo, esta solución planteó un nuevo problema, el de la definición lógica de
número real.
Aunque la definición de cálculo de Cauchy
estaba basada en este concepto, no fue él sino el matemático alemán Julius W.
R. Dedekind quien encontró una definición adecuada para los números reales, a
partir de los números racionales, que todavía se enseña en la actualidad; los
matemáticos alemanes Georg Cantor y Karl T. W. Weierstrass también dieron otras
definiciones casi al mismo tiempo.
Un problema más importante que surgió al
intentar describir el movimiento de vibración de un resorte —estudiado por
primera vez en el siglo XVIII— fue el de definir el significado de la palabra
función. Euler, Lagrange y el matemático francés Joseph Fourier aportaron
soluciones, pero fue el matemático alemán Peter G. L. Dirichlet quien propuso
su definición en los términos actuales.
Además de fortalecer los fundamentos del
análisis, nombre dado a partir de entonces a las técnicas del cálculo, los
matemáticos del siglo XIX llevaron a cabo importantes avances en esta materia.
A principios del siglo, Carl Friedrich Gauss dio una explicación adecuada del
concepto de número complejo; estos números formaron un nuevo y completo campo
del análisis, desarrollado en los trabajos de Cauchy, Weierstrass y el
matemático alemán Bernhard Riemann.
Otro importante avance del análisis fue el
estudio, por parte de Fourier, de las sumas infinitas de expresiones con
funciones trigonométricas. Éstas se conocen hoy como series de Fourier, y son
herramientas muy útiles tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Además, la investigación de funciones que
pudieran ser iguales a series de Fourier llevó a Cantor al estudio de los
conjuntos infinitos y a una aritmética de números infinitos. La teoría de
Cantor, que fue considerada como demasiado abstracta y criticada como
"enfermedad de la que las matemáticas se curarán pronto", forma hoy
parte de los fundamentos de las matemáticas y recientemente ha encontrado una
nueva aplicación en el estudio de corrientes turbulentas en fluidos.
Otro descubrimiento del siglo XIX que se
consideró abstracto e inútil en su tiempo fue la geometría no euclídea. En esta
geometría se pueden trazar al menos dos rectas paralelas a una recta dada que
pasen por un punto que no pertenece a ésta.
Aunque descubierta primero por Gauss, éste tuvo miedo de la controversia que su publicación
pudiera causar. Los mismos resultados fueron descubiertos y publicados por
separado por el matemático ruso Nikolái Ivánovich Lobachevski y por el húngaro
János Bolyai.
Las geometrías no euclídeas fueron
estudiadas en su forma más general por Riemann, con su descubrimiento de las
múltiples paralelas. En el siglo XX, a partir de los trabajos de Einstein, se
le han encontrado también aplicaciones en física.
Gauss es uno de los más importantes matemáticos de la
historia. Los diarios de su juventud muestran que ya en sus primeros años había
realizado grandes descubrimientos en teoría de números, un área en la que su
libro Disquisitiones arithmeticae (1801) marca el comienzo de
la era moderna. En su tesis doctoral presentó la primera demostración apropiada
del teorema fundamental del álgebra.
A menudo combinó investigaciones
científicas y matemáticas. Por ejemplo, desarrolló métodos estadísticos al
mismo tiempo que investigaba la órbita de un planetoide recién descubierto,
realizaba trabajos en teoría de potencias junto a estudios del magnetismo, o
estudiaba la geometría de superficies curvas a la vez que desarrollaba sus
investigaciones topográficas.
De mayor importancia para el álgebra que
la demostración del teorema fundamental por Gauss fue la transformación que ésta sufrió durante el
siglo XIX para pasar del mero estudio de los polinomios al estudio de la
estructura de sistemas algebraicos. Un paso importante en esa dirección fue la
invención del álgebra simbólica por el inglés George Peacock.
Otro avance destacado fue el
descubrimiento de sistemas algebraicos que tienen muchas propiedades de los
números reales. Entre estos sistemas se encuentran las cuaternas del matemático
irlandés William Rowan Hamilton, el análisis vectorial del matemático y físico
estadounidense Josiah Willard Gibbs y los espacios ordenados de n dimensiones
del matemático alemán Hermann Günther Grassmann.
Otro paso importante fue el desarrollo de
la teoría de grupos, a partir de los trabajos de Lagrange. Galois utilizó estos
trabajos muy a menudo para generar una teoría sobre qué polinomios pueden ser
resueltos con una fórmula algebraica.
Del mismo modo que Descartes había
utilizado en su momento el álgebra para estudiar la geometría, el matemático
alemán Felix Klein y el noruego Marius Sophus Lie lo hicieron con el álgebra
del siglo XIX. Klein la utilizó para clasificar las geometrías según sus grupos
de transformaciones (el llamado Programa Erlanger), y Lie la aplicó a una
teoría geométrica de ecuaciones diferenciales mediante grupos continuos de
transformaciones conocidas como grupos de Lie.
En el siglo XX, el álgebra se ha aplicado
a una forma general de la geometría conocida como topología.
También los fundamentos de las matemáticas
fueron completamente transformados durante el siglo XIX, sobre todo por el
matemático inglés George Boole en su libro Investigación sobre las
leyes del pensamiento (1854) y por Cantor en su teoría de conjuntos.
Sin embargo, hacia finales del siglo, se descubrieron una serie de paradojas en
la teoría de Cantor.
El matemático inglés Bertrand Russell
encontró una de estas paradojas, que afectaba al propio concepto de conjunto.
Los matemáticos resolvieron este problema construyendo teorías de conjuntos lo
bastante restrictivas como para eliminar todas las paradojas conocidas, aunque
sin determinar si podrían aparecer otras paradojas; es decir, sin demostrar si
estas teorías son consistentes. Hasta nuestros días, sólo se han encontrado
demostraciones relativas de consistencia (si la teoría B es
consistente entonces la teoría A también lo es).
Especialmente preocupante es la
conclusión, demostrada en 1931 por el lógico estadounidense Kurt Gödel, según
la cual en cualquier sistema de axiomas lo suficientemente complicado como para
ser útil a las matemáticas es posible encontrar proposiciones cuya certeza no
se puede demostrar dentro del sistema.
Las matemáticas
actuales
En la Conferencia Internacional de
Matemáticos que tuvo lugar en París en 1900, el matemático alemán David Hilbert
expuso sus teorías. Hilbert era catedrático en Gotinga, el hogar académico
de Gauss y Riemann, y había contribuido de forma sustancial
en casi todas las ramas de las matemáticas, desde su clásico Fundamentos
de la geometría (1899) a su Fundamentos de la matemática en
colaboración con otros autores.
La conferencia de Hilbert en París
consistió en un repaso a 23 problemas matemáticos que él creía podrían ser las
metas de la investigación matemática del siglo que empezaba.
Estos problemas, de hecho, han estimulado
gran parte de los trabajos matemáticos del siglo XX, y cada vez que aparecen
noticias de que otro de los "problemas de Hilbert" ha sido resuelto,
la comunidad matemática internacional espera los detalles con impaciencia.
A pesar de la importancia que han tenido
estos problemas, un hecho que Hilbert no pudo imaginar fue la invención del
ordenador o computador digital programable, primordial en las matemáticas del
futuro.
Aunque los orígenes de las computadoras
fueron las calculadoras de relojería de Pascal y Leibniz en el siglo XVII, fue
Charles Babbage quien, en la Inglaterra del siglo XIX, diseñó una máquina capaz
de realizar operaciones matemáticas automáticamente siguiendo una lista de
instrucciones (programa) escritas en tarjetas o cintas.
La imaginación de Babbage sobrepasó la
tecnología de su tiempo, y no fue hasta la invención del relé, la válvula de
vacío y después la del transistor cuando la computación programable a gran
escala se hizo realidad.
Este avance ha dado un gran impulso
a ciertas ramas de las matemáticas, como el análisis numérico y las matemáticas
finitas, y ha generado nuevas áreas de investigación matemática como el estudio
de los algoritmos.
Se ha convertido en una poderosa
herramienta en campos tan diversos como la teoría de números, las ecuaciones
diferenciales y el álgebra abstracta. Además, el computador u ordenador ha
permitido encontrar la solución a varios problemas matemáticos que no se habían
podido resolver anteriormente, como el problema topológico de los cuatro
colores propuesto a mediados del siglo XIX.
El teorema dice que cuatro colores son
suficientes para dibujar cualquier mapa, con la condición de que dos países
limítrofes deben tener distintos colores. Este teorema fue demostrado en 1976
utilizando una computadora de gran capacidad de cálculo en la Universidad de
Illinois (Estados Unidos).
El conocimiento matemático del mundo
moderno está avanzando más rápido que nunca. Teorías que eran completamente
distintas se han reunido para formar teorías más completas y abstractas.
Aunque la mayoría de los problemas más
importantes han sido resueltos, otros como las hipótesis de Riemann siguen sin
solución. Al mismo tiempo siguen apareciendo nuevos y estimulantes problemas.
Parece que incluso las matemáticas más abstractas están encontrando aplicación.
IMPORTANCIA DE
LA MATEMÁTICA
Las matemáticas son
fundamentales para el desarrollo intelectual de los niños, les ayuda a ser
lógicos, a razonar ordenadamente y a tener una mente preparada para el
pensamiento, la crítica y la abstracción.
Las matemáticas configuran
actitudes y valores en los alumnos pues garantizan una solidez en sus
fundamentos, seguridad en los procedimientos y confianza en los resultados
obtenidos. Todo esto crea en los niños una disposición consciente y favorable
para emprender acciones que conducen a la solución de los problemas a los que
se enfrentan cada día.
A su vez, las
matemáticas contribuyen a la formación de valores en los niños, determinando
sus actitudes y su conducta, y sirviendo como patrones para guiar su vida, como
son, un estilo de enfrentarse a la realidad lógico y coherente, la búsqueda de
la exactitud en los resultados, una comprensión y expresión clara a través de
la utilización de símbolos, capacidad deabstracción, razonamiento y
generalización y la percepción de la creatividad como un valor.
Podemos dividir estos
valores en dos grupos:
1) Valores de la
inteligencia: afán de saber, adquirir conocimientos, estudiar, hábitos y
técnicas de trabajo intelectual para utilizar la información, sentido crítico
de lo verdadero;
2) Valores de la voluntad:
a) Capacidad de decisión (prudencia, predicción, iniciativa, seguridad,
confianza en sí mismo), b) Valores morales: respecto a las creencias e ideas de
los demás, colaboración, solidaridad, honradez, honestidad, laboriosidad,
optimismo.
Sin embargo en el colegio,
la asignatura de matemáticas suele ser de lejos, la más odiada. Y ¿Por qué?
Parece que nos estamos dando cuenta de que las matemáticas llevan años
enseñándose mal. Es necesario que desde la escuela se transmita una idea
positiva de las matemáticas y para ello hay que cambiar la manera en la que se
les presentan a los alumnos.
Grandes matemáticos de la Historia
Pitágoras
Pitágoras es considerado como el primer
matemático, célebre por el famoso teorema que lleva su nombre: el teorema de
Pitágoras
La suma de los cuadrados de los catetos de un
triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa.
Una de los hechos mas reconocidos acerca
de Pitágoras, fue de su “secta” llamada los pitagóricos. Algunos resultados
matemáticos que se le atribuyen a Pitágoras son:
1. La suma de los ángulos de un triángulo
es igual a dos veces un ángulo recto, dicho de otra forma, la suma de los
ángulos de un triángulo es 180 grados. Ellos también conocían una
generalización a este teorema, el cual establece que la suma de los ángulos
internos de un polígono de n-lados es igual a 2n - 4 veces un ángulo
recto, además la suma de los ángulos externos es igual a 2n - 4 veces cuatro ángulos
rectos.
2.
El teorema de Pitágoras.
3.
Construcción de figuras de un área dada
y álgebra geométrica.
4. Los irracionales. Como había indicado, los
Pitagóricos, y Pitágoras, creían que todo estaba hecho de números, ya sean
enteros, o la razón de dos enteros. Sin embargo, ellos mismos fueron consientes
de la imposibilidad de representar ciertos números como razón de dos enteros,
como lo es el número √2.
5.
Los cinco sólidos regulares. De hecho,
se cree que Pitágoras sabía como construir los primeros tres.
6.
Pitágoras creía que la tierra era una
esfera que se encontraba en el centro del universo, además, sabía que la órbita
de la luna estaba un poco inclinada con respecto al ecuador.
Hypatia
Considerada
como la primer mujer en hacer una contribución a las matemáticas, a pesar de no
existir evidencia de haber producido resultados propios. Por su parte, asistió
a su padre, Theon, en la escritura de la onceaba parte de el libro Almagesto de
Ptolomeo. También ayudó a su padre en la producción de una nueva versión de el
libro de Euclides, Los Elementos.
Hypatia,
además, comentó el libro Aritmética de Diofanto, Cónicas de
Apolonio y los trabajos en astronomía de Ptolomeo.
Los trabajos de Hypatia están perdidos,
sin embargo, existen referencias a ella, además de algunas cartas que envió a
Sinesio de Cirene.
Leonhard Euler
Un peso pesado. Uno de los matemáticos más
prolíficos de toda la historia, altamente reconocido por la constante de Euler
y por la fórmula de Euler
De Euler, en teoría de números,
conocemos la función Phi, sin embargo, él también trabajó en el área de
geometría. De hecho, parte de su trabajo fue base para el posterior desarrollo
de la Característica de Euler para poliedros.
Otro aporte que nos dio fue una teoría completa acerca
de los logaritmos complejos, el cual publicó en el año 1751. Además de trabajar
con ecuaciones diferenciales parciales y ordinarias. Descubrió las ecuaciones
de Cauchy-Riemann y además, encontró una conexión entre la función zeta de
Riemann y los números primos
De
hecho, dio una fórmula para evaluar la función zeta de Riemann en los números
pares, fórmula que usa los números de Bernoulli.
Johann Carl Friedrich Gauss
El príncipe de las matemáticas. Fue
Gauss quien, por primera vez, dio una demostración correcta de la ley de
reciprocidad cuadrática, además de dar la primera demostración rigurosa del
teorema fundamental del Álgebra. Uno de los resultados más conocidos, que de
hecho llevan su nombre, es el Lema de Gauss, el cual es un criterio de
irreducibilidad para polinomios sobre dominios de factorización única.
En el marco de teoría de números, lo más
reconocido fue su escrito Disquisitiones arithmeticae, libro en el cual
recoge resultados obtenidos por varios matemáticos posteriores a él, además de
algunos aportes propios.
Existen otras anécdotas acerca de Gauss:
En 1800 Gauss se interesó en la existencia de geometría no euclidea. Algunos de
los matemáticos con los cuales discutió tal hecho, fue con Farkas Bolyai.
En 1831, Farkas envió una carta a Gauss en el cual le mostraba el trabajo de su
hijo János Bolyai. La respuesta de Gauss fue
… alabarlo sería alabarme a mí mismo.
Una década después, Gauss fue informado
acerca del trabajo de Lobachevsky acerca del tema, tiempo después, en una
carta a Schumacher en 1846, Gauss afirmó he tenido la misma convicción
por 54 años.
Es decir, desde que tenía 15 años de
edad. Sin querer dudar de las capacidades de Gauss, es poco creíble.
Aún así, Gauss fue un gran matemático, y
su puesto en esta lista está bien merecido.
Georg Ferdinand Ludwig Philipp
Cantor
Mejor
conocido como Georg Cantor. Matemático Ruso, nacido en San Petersburgo.
Hablar de Cantor, es hablar del infinito, pues es esto lo que más resalta de
él. En el blog Gaussianos, se encuentran muchas historias acerca de él y del
infinito.
En
el año 1873 Cantor demostró, nada mas y nada menos, que los números racionales
son contables, es decir, están en correspondencia uno a uno con los números naturales. Además, mostró que los
números algebraicos, aquellos que son raíces de polinomios con coeficientes
enteros, también son contables.
En diciembre de 1873, Georg Cantor probó
que los números reales no son contables. Dejando así la sensación de que casi
todos los números son trascendentes, ¿en qué sentido? Un número trascendente es
un número irracional que no es raíz de un polinomio de coeficientes reales, al
haber demostrado que los números algebraicos son contables, y los reales no lo
son, se da la sensación de que casi todos los números son trascendentes, pues
al escoger un número de manera aleatoria, es más probable que caiga en un real
no algebraico. En otras palabras, hay “más” trascendentes que algebraicos
En 1877 Georg Cantor escribió a
Dedeking, dando una demostración acerca de una correspondencia uno a uno entre
el intervalo ![[0,1]](file:///C:\Users\Gonzalez\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image018.png)
y puntos en un
espacio 
-dimensional. En la misma
nota, Cantor escribió
y puntos en un
espacio -dimensional. En la misma
nota, Cantor escribió
Lo veo, ¡pero no lo creo!
Otros resultados obtenidos por Cantor,
fue la demostración de la unicidad de la representación de una función como
serie de funciones trigonométricas, problema que había sido tratado por varios
matemáticos sin lograr un resultado positivo. Así, en 1872, Cantor publicó su
artículo sobre series trigonométricas, en el cual definió los números
irracionales en términos de sucesiones convergente de números racionales.
Hilbert describió el trabajo de Cantor
como “… el producto más fino de un genio matemático y uno de los logros
supremos de la pureza de la actividad humana a nivel intelectual”
Grigori Yakovlevich Perelman
El genio detrás de la conjetura de
Poincaré. Con un pasado brillante, casi que hecho para ser un gran matemático,
sorprendió a todos resolviendo uno de los problemas del milenio, y volvió a
sorprender rechazando la medalla Field y un millón de dolares.
Este matemático ruso, aprendió desde muy
pequeño a tocar violín gracias a la iniciativa de Lubov Lvovna, la madre
de “Grisha”, como le llamaban cuando pequeño. Su padre Yakov Perelman,
tuvo más influencia en la resolución de problemas. Grigori se refirió a su
padre, diciendo
Él me dio problemas de lógica y otros problemas de
matemáticas para que yo pensara acerca de ellos. Él me dio muchos libros para
leer. Él me enseñó como jugar ajedrez. Él esta orgulloso de mi.
La madre de Grigori, profesora de matemáticas, también
cultivó sus conocimientos de matemáticas, siendo, a la edad de diez años, parte
de las competiciones matemáticas del distrito, mostrando gran talento.
A lo largo de su biografía se puede ver
muchos éxitos, problemas resueltos y otras conjeturas que logró resolver. Pero
fue alrededor de 1996, cuando él leyó un artículo de Hamilton acerca de la
conjetura de Poincaré, que empezó su interés por este problema. Grigori, al ver
que Hamilton no había progresado en el problema, envió una carta ofreciendo su
ayuda. Al no recibir respuesta alguna por parte de él, Grigori decidió resolver
la conjetura de Poincaré solo… y lo logró.
Terence Chi-Shen Tao
Más
conocido como Terence Tao, o Terry Tao. Otro personaje con un pasado asombroso.
Como todo un niño prodigio, a la edad de dos años ya se hizo ver como una
persona distinta, al ser visto por sus padres como le enseñaba a niños de cinco
años como sumar y deletrear números. Cuando le preguntaron donde aprendió eso,
dijo que del programa televisivo Sesame Street, conocido en latino-américa como
Plaza Sésamo y en España como Barrio Sésamo.
Ya a la edad de diez años, empezó a
participar en las olimpiadas internacionales de matemáticas. En el año 1986
ganó medalla de bronze, en 1987 medalla de plata, finalmente, en el año 1988,
una medalla de oro, convirtiéndose en el ganador de medalla de oro más joven en
la historia. Son varias los logros que ha logrado Terence Tao en su
pre-adolescencia.
En 2004, Terence, de la mano de Ben
Green, publicaron un artículo, a modo de borrador, en el cual demostraban que
los números primos contenían progresiones aritméticas de cualquier longitud.
Por ejemplo, los números tres, cinco y siete, están en una sucesión aritmética
de longitud tres, cuya separación es dos; el teorema de Terence y Green,
demuestra que también hay una sucesión de longitud cuatro, de longitud cinco, y
en general de cualquier longitud, donde todos los términos son números primos.
Este además de otros aportes a las
matemáticas, le hicieron merecedor de la medalla Fields en 2006.
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